问题标题：
双曲线vc1与椭圆c2有相同的焦点,他们的交点A(4,√15),双曲线C1的一条渐近线方程为√5x-2y＝01：求双曲线c1的标准方程2求椭圆的离心率
问题描述：
双曲线vc1与椭圆c2有相同的焦点,他们的交点A(4,√15),双曲线C1的一条渐近线方程为√5x-2y＝0
1：求双曲线c1的标准方程
2求椭圆的离心率
刘朔回答：
双曲线c₁与椭圆c₂有相同的焦点,他们的交点为A(4,√15),双曲线C₁的一条渐近线方程为(√5)x-2y＝0；(1).求双曲线c₁的标准方程；(2).求椭圆的离心率.
(1).双曲线的渐近线y=[(√5)/2]x；当焦点在x轴上时,设a=2m,b=(√5)m；
那么双曲线方程可设为x²/4m²-y²/5m²=1；将点A的坐标代入得16/4m²-15/5m²
=4/m²-3/m²=1,故的m²=1,即m=1.于是得双曲线方程为x²/4-y²/5=1.
若焦点在y轴上,则可设a=(√5)n,b=2n；那么双曲线方程可设为y²/5n²-x²/4n²=1；
再将A点的坐标代入得15/5n²-16/4n²=3/n²-4/n²=1,得n²=-1,这是不合理的,故
焦点不可能再y轴上.
(2).双曲线方程为x²/4-y²/5=1,c²=4+5=9,c=3；
椭圆与双曲线有相同的焦点,故椭圆的c=3；那么可设椭圆方程为x²/a²+y²/(a²-9)=1
将A点的坐标代入得16/a²+15/(a²-9)=1；即有16(a²-9)+15a²=a²(a²-9)；
a⁴-40a²+144=(a²-4)(a²-36)=0,故得a²=4(舍去)或a²=36.
于是得椭圆方程为x²/36+y²/27=1.
故a=6,c=3,其离心率e=3/6=1/2.
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