问题标题：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E.(1)求AC、BC的长；____(2)若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积(π取3.14).____
问题描述：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E.
(1)求AC、BC的长；
____
(2)若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积(π取3.14).
____
林金城回答：
【分析】(1)连接OD、OE，得出四边形CDOE是正方形，推出CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，设AD=x，求出BE=5-x，证得△OEB∽△ADO，推出，代入求出x即可；
n(2)先求得AD=3-2=1，结合BC=6，AC=3，然后根据阴影部分的面积，代入各个图形的面积求出即可.
(1)连接OD、OE，如图，
n∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，
n∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
n∵OE=OD=2，
n∴四边形CDOE是正方形，
n∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°.
n设AD=x，
n∵AC+BC=9，
n∴BE=9-2-2-x=5-x.
n∵∠OEB=∠C=90°，
n∴OE∥AC，
n∴∠EOB=∠A，
n∴△OEB∽△ADO，
n∴，
n∴，
n解得x=1或4，
n∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3.
n(2)由(1)知，CD=2，
n∴AD=AC-CD=1，
n由AC=3，AC+BC=9，得BC=6，
n∴阴影部分的面积
n=9-3-(4-π)
n=2+π
n≈5.14.
【点评】在圆中，遇到切点，连接圆心和切点构造垂直关系是圆内辅助线的常用作法，此题通过添加辅助线构造正方形，为后面推出△OEB∽△ADO以及求解阴影部分的面积起到了很好的铺垫作用，另外，要认真体会第(2)问中不规则图形面积的求法.
查看更多
