问题标题:
已知函数f(x)=2alnx-x+1x,(a∈R,且a≠0);g(x)=-x2-x+22b.(Ⅰ)若f(x)在定义域上有极值,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若对∀x1∈[1,e],总∃x2∈[1,e],使得f(x1)<g(x2),则等价
问题描述:

已知函数f(x)=2alnx-x+1x,(a∈R,且a≠0);g(x)=-x2-x+2

2b.

(Ⅰ)若f(x)在定义域上有极值,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)若对∀x1∈[1,e],总∃x2∈[1,e],使得f(x1)<g(x2),则等价为fmax(x)<gmax(x),利用导数与最值之间的关系,即可求实数b的取值范围.

(Ⅲ)对∀n∈N,且n≥2,证明:ln(n!)4<(n-1)(n+2).

刘翔回答:
  (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),要f(x)在定义域内有极值,   则f′(x)=−x
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