问题标题：
V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0}V2={x|Ax=x}
问题描述：
V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0}V2={x|Ax=x}
刘燕平回答：
个人意见,仅供参考哈.令E是域K上的一个向量空间,并且是子空间V,V'的直和.则存在唯一的线性变换f:E--->E使得V={allx∈Esuchthatf(x)=0}=Ker(f),V'={allx∈Esuchthatf(x)=x}...
刘燕平回答：
不好意思可能是我没说清楚.我的意思是,令f是从E到V'的,关于这个直和分解的投影,那么显然f满足要求;反过来,如果g:E--->E也满足要求,显然g=f,所以这样的线性变换"存在"并且"唯一".如果您还需要更具体些的构造方法,可以分别取V,V'的基{x_i}和{y_j},然后令f:E--->E在x_i上不变,在y_j上为零;容易说明f关于标准基的矩阵与基{x_i},{y_j}的选择无关.(我对线性代数的具体技术不熟悉,如果帮不上您的忙不好意思哈......)
刘燕平回答：
[关于映射f]一般地,令E是域K上的向量空间,选定一个基{x_i},令f:E---->E是一个线性变换,那么f可以由它在基上的作用唯一地决定,因为E的每个元素都可以唯一地写成x_i的线性组合,而f按照定义是线性的.这个问题中,如果取V,V'的基{x_i}和{y_j},那么无交并{x_i,y_j}={x_i}∪{y_j}是整个空间E的基,所以规定f:E--->E在x_i上为零,在y_j上不变就唯一地决定了线性映射f.(抱歉!上面的回答中说反了....应该是在V'的基{y_j}上不变)[关于投影]按照定义,E是V与V'的内直和意味着E的每个元素x有唯一的分解x=y+y'我想说的"从E到V'上的投影",就是指把每个x映到那个对应的y'的映射;这里就是上面构造出的那个f.其实写出来很简单哈,但是这里发图片太不方便了....还不如贴吧.希望对您有点帮助:)
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