问题标题：
求和：Sn=1×2+2×3+3×4+……n×（n+1）等于多少?
问题描述：
求和：Sn=1×2+2×3+3×4+……n×（n+1）等于多少?
刘振宝回答：
通项公式An=n*(n+1)=n^2+n
可以看成一个平方和和一个等差数列
Sn^2=1/6*n(n+1)(2n+1)
Sn=n*(n+1)/2
S总=Sn^2+Sn=1/6*n(n+1)(2n+1)+n*(n+1)/2
芦建辉回答：
其他方法？
刘振宝回答：
分成1+2+3+……+n+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(1+n)*n/2+1/6*n(n+1)(2n+1)=(n+1)*(n+2)*n/3。重点是怎么求1^2+2^2+……+n^2，这里讲2种方法，设Sn=1^2+2^2+……+n^2。方法1：展开成1+2+3+4+5……+n+2+3+4+5+……+n3+4+5+……+n4+5+……+n……+n用求和公式：(1+n)n/2+(2+n)(n-1)/2+……+(n+n)(n-(n-1))/2化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+（2+3+4+……+n）]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]这就相当于得到一个关于Sn的方程。化简一下：n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn，得Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即1/6*n(n+1)(2n+1)方法2：Sn=S(n-1)+n^2=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6好了！等式左面全是n,右面全是(n-1)，以此递推下去，得Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6……=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6=0所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
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