问题标题：
计算：不定积分∫1/[(1+2x）(1+x^2)]dx定积分∫(x-2)√(4-x^2)dx（上限2,下限-2）
问题描述：
计算：不定积分∫1/[(1+2x）(1+x^2)]dx定积分∫(x-2)√(4-x^2)dx（上限2,下限-2）
马沂夫回答：
待定系数法：
1/[(1+2x)(1+x^2)]=a/(1+2x)+(bx+c)/(1+x^2)
1=a(1+x^2)+(bx+c)(1+2x)
当x=-1/2,1=1.25a=>a=4/5
当x=0,1=4/5+c=>c=1/5
当x=1,1=8/5+(b+1/5)(3)=>b=-2/5
∫dx/[(1+2x)(1+x^2)]
=(4/5)∫dx/(1+2x)-(2/5)∫x/(1+x^2)dx+(1/5)∫dx/(1+x^2)
=(4/5)(1/2)ln|1+2x|-(2/5)(1/2)ln(1+x^2)+(1/5)arctan(x)+C
=(2/5)ln|1+2x|-(1/5)ln(1+x^2)+(1/5)arctan(x)+C
__________________________________________________________
∫(-2到2)(x-2)√(4-x^2)dx
=∫(-2到2)x√(4-x^2)dx-2∫(-2到2)√(4-x^2)dx
=0-4∫(0到2)√(4-x^2)dx
用几何意义解比较快速
表示的圆是x^2+y^2=4,半径为2,
范围由-2到2表示半圆面积
范围由0到2表示1/4的圆面积
=π(2)²*1/4=π
所以定积分=-4(π)=-4π
方法二：用第二类换元法,用代换x=2sinθ即可.
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