问题标题：
【设λ1，λ2是方阵A的两个不同的特征值，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ξ1，…，ξs是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ξ1，…，ξs线性无关．】
问题描述：
设λ1，λ2是方阵A的两个不同的特征值，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ξ1，…，ξs是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ξ1，…，ξs线性无关．
孙红光回答：
证明：
由题设知：
Aηi=λ1ηi（i=1，2，…，r），Aξj=λ2ξj（j=1，2，…，s），
假设：k1η1+…+krηr+kr+1ξ1+…+kr+sξs=0…①
①式两边都左乘A，可得：
A（k1η1+…+krηr）+A（kr+1ξ1+…+kr+sξs）=0，
即：λ1（k1η1+…+krηr）+λ2（kr+1ξ1+…+kr+sξs）=0…②
②-λ2①得：λ1（k1η1+…+krηr）-λ2（k1η1+…+krηr）=0，
从而：（λ1-λ2）（k1η1+…+krηr）=0，
∵λ1≠λ2，
所以：k1η1+…+krηr=0，
又η1，η2，…，ηr线性无关，
∴k1=k2=…=kr=0，
从而①式可简化为：kr+1ξ1+…+kr+sξs=0
又∵ξ1，ξ2，…，ξs线性无关，
∴kr+1=kr+2=…=kr+s=0，
于是：k1=…=kr=kr+1=…=kr+s=0，
∴η1，…，ηr，ξ1，…，ξs线性无关．
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