问题标题:
△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
问题描述:

△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

郝东白回答:
  证明:由题知:C-B=B-A,即:A+C=2B,则A+B+C=3B=180°,得B=60°.   若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为:a、b、c,由余弦定理,得   b^2=c^2+a^2-2ca*cosB   =c^2+a^2-2ca*cos60°   =c^2+a^2-2ca*1/2   =c^2+a^2-ca   欲证等式左边:   1/(a+b)+1/(b+c)   =(a+2b+c)/(a+b)(b+c)   =(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c).①   于是原题等价于证明①式成立,交叉相乘得:   3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]   3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)   3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc   整理,得   b^2=c^2+a^2-ca,.②   于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立,就等价证明②式成立.而②式已经由余弦定理证得.   所以由此倒推即得.
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