证法1 　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过点C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD, 　　∴∠EGF=∠BED, 　　∵∠EGF+∠GEF=90°, 　　∴∠BED+∠GEF=90°, 　　∴∠BEG=180°―90°=90° 　　又∵AB=BE=EG=GA=c, 　　∴ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴∠ABC+∠CBE=90° 　　∵RtΔABC≌RtΔEBD, 　　∴∠ABC=∠EBD. 　　∴∠EBD+∠CBE=90° 　　即∠CBD=90° 　　又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°, 　　BC=BD=a. 　　∴BDPC是一个边长为a的正方形. 　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S,则 　　A2+B2=C2 　　证法2 　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点 　　F作FN⊥PQ,垂足为N. 　　∵∠BCA=90°,QP∥BC, 　　∴∠MPC=90°, 　　∵BM⊥PQ, 　　∴∠BMP=90°, 　　∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90°. 　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°, 　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°, 　　∴∠QBM=∠ABC, 　　又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c, 　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA. 　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即A2+B2=C2 　　证法3 　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再作一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, 　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, 　　∴FI=a, 　　∴G,I,J在同一直线上, 　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c, 　　∠CJB=∠CFD=90°, 　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD, 　　同理,RtΔABG≌RtΔADE, 　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE 　　∴∠ABG=∠BCJ, 　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°, 　　∴∠ABG+∠CBJ=90°, 　　∵∠ABC=90°, 　　∴G,B,I,J在同一直线上, 　　A2+B2=C2. 　　证法4 　　作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 　　BF、CD.过C作CL⊥DE, 　　交AB于点M,交DE于点L. 　　∵AF=AC,AB=AD, 　　∠FAB=∠GAD, 　　∴ΔFAB≌ΔGAD, 　　∵ΔFAB的面积等于, 　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半, 　　∴矩形ADLM的面积=. 　　同理可证,矩形MLEB的面积=. 　　∵正方形ADEB的面积 　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 　　∴即A2+B2=C2 　　证法5（欧几里得的证法） 　　《几何原本》中的证明 　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等. 　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下： 　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形. 　　其证明如下： 　　设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为AB和BD分别等于FB和BC,所以△ABD必须相等于△FBC.因为A与K和L是线性对应的,所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB²；.同理可证,四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC2；.把这两个结果相加,AB2;+AC2;;=BD×BK+KL×KC.由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形,因此AB2;+AC2;=BC2；.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 　　证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法） 　　如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高 　　通过证明三角形相似则有射影定理如下： 　　（1）（BD）2;=AD•DC, 　　（2）（AB）2;=AD•AC, 　　（3）（BC）2;=CD•AC.　 　　由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD•AC+CD•AC=（AD+CD）•AC=（AC