问题标题：
【知某椭圆的焦点是F1（-4,0）F2（4,0）,过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1|+|F2|=0,椭圆上不同的两点A（X1,Y1）C（x2,y2）满足条件|F2A||F2B||F2C|成等差数列.（1）求椭圆方程（】
问题描述：
知某椭圆的焦点是F1（-4,0）F2（4,0）,过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B
,且|F1|+|F2|=0,椭圆上不同的两点A（X1,Y1）C（x2,y2）满足条件|F2A||F2B||F2C|成等差数列.（1）求椭圆方程（2）求弦AC中点横坐标（3）该弦的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围
任家隆回答：
椭圆上任一一点到焦点的距离比上其到相应准线的距离等于离心率e.
（1）|F1B|＋|F2B|＝10,得a=5,又因为c=4,所以得b^2=a^2-c^2=9
所以方程为x^2/25+y^2/9=1
（2）F2B是通径的一半,所以F2B=b^2/a=9/5；椭圆的离心率e=4/5；
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,则：|F2A|+|F2C|=2|F2B|=18/5
F2为右焦点,根据焦半径公式：|F2A|=a-ex1=5-4x1/5,|F2C|=a-ex2=5-4x2/5
所以：5-4x1/5+5-4x2/5=18/5,得x1+x2=8
所以,AC中点的横坐标是4；
（3）先求k：设AC中点为M,则M在直线y＝kx＋m上,而由（2）点M的横坐标为4,代入直线
得其纵坐标为4k+m,即y1+y2=8k+2m
因为AC在椭圆上,所以：x1^2/25+y1^2/9=1,x2^2/25+y2^2/9=1两式作差：
（这是点差法的典型运用）(x1^2-x2^2)/25+(y1^2-y2^2)/9=0
即：(x1+x2)(x1-x2)/25+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
把x1+x2=8,y1+y2=8k+2m代入得：8(x1-x2)/25+(8k+2m)(y1-y2)/9=0
等式两边同除2(x1-x2)得：4/25+(4k+m)(y1-y2)/9(x1-x2)=0；①
注意观察：(y1-y2)/(x1-x2)是AC的斜率,
因为AC中垂线的斜率为k,则AC的斜率即(y1-y2)/(x1-x2)=-1/k代入①式,得：
4/25-(4k+m)/9k=0,整理得：36k=100k+25m,即可得：k=-25m/64
所以点M的纵坐标4k+m=-9m/16
所以点M(4,-9m/16),点M在直线x=4上,但是对M的要求是它必须落在椭圆内；
x=4恰好是椭圆焦点的横坐标,易得x=4时,y=±b^2/a=±9/5
所以-9/5
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