问题标题:
【已知数列an>0an+1/an=2Sn求an】
问题描述:

已知数列an>0an+1/an=2Sn求an

马培军回答:
  因S1=a1   则a1+1/a1=2a1   注意到a1>0   解得a1=1   因Sn-S(n-1)=an(*)   则(an+1/an)-[a(n-1)+1/a(n-1)]=2an   即an+a(n-1)=1/an-1/a(n-1)   由此有(a2+a1)+(a3+a2)+(a4+a3)+...+(an+a(n-1))=1/an-1/a1=1/an-1   即有(1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an   注意到a1=1   即有(a1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an   即有Sn+S(n-1)=1/an(**)   由(*)(**)得Sn^2-S(n-1)^2=1   表明数列{Sn^2}为公差为1的等差数列   显然首项S1^2=a1^2=1   易知通项Sn^2=n   考虑到an>0   则Sn>0   所以Sn=√n   由an+1/an=2Sn   则an+1/an=2√n   解得an=√n±√(n-1)
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