问题标题:
【如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点0是BC的中点,D为AB上一动点,延长DO到E,且OE=OD,连接CE.(1)如图2,若D为AB的中点,请判断四边形EDAC的形状,并说明理由;(2)如图3,若∠A=60°,∠BOD=3】
问题描述:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点0是BC的中点,D为AB上一动点,延长DO到E,且OE=OD,连接CE.
(1)如图2,若D为AB的中点,请判断四边形EDAC的形状,并说明理由;
(2)如图3,若∠A=60°,∠BOD=30°,四边形EDAC是等腰梯形吗?请说明理由;
(3)若AC=15,AB=25,请在图4中作出点D的位置使四边形的EDAC周长最小,请补全图形并求出四边形的EDAC的最小周长.
申忠轩回答:
(1)点0是BC的中点,即OC=OB,又OE=OD,∠EOC=∠DOB,∴△COE≌△BOD.
∴CE=DB,∠E=∠EDB,
∴CE∥AB,而D为AB的中点,
∴CE=AD,由平行四边形判别定理可得EDAC为平行四边形.
(2)由(1)可知CE∥AB,
∴四边形EDAC是梯形,
在Rt△ABC中,∠A=60°,
∴∠B=30°,
又∵∠BOD=30°,
∴∠EDA=60°=∠A,
∴四边形EDAC是等腰梯形.
(3)根据图1、2、3可知,CE与BD的等长的,所以只有当ED是最小的,才会使得四边形EDAC的周长最小,故只有当ED⊥AB时才会令四边形EDAC周长最小.
对于Rt△ABC,由勾股定理求得BC=20,
∴BO=10
∵∠B=∠OCE,∠ODB=∠E=90°,
∴△BOD∽△BAC,
∴BOBA
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