问题标题:
帮个忙·一道简单的数学题已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,问其通向公式
问题描述:

帮个忙·一道简单的数学题

已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,问其通向公式

汪和才回答:
  在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,   (1)证明:数列{an-n}是等比数列   (2)写出数列{an}的前5项及通项公式   (3)用数学归纳法证明(2)中的通项公式对任意n属于N都成立   由a(n+1)=4an-3n+1,   知a(n+1)-(n+1)=4(an-n),   又a1=2,故a1-1=1≠0   所以数列{an-n}是公比q=4的等比数列   (2)   an-n=(a1-1)*[4^(n-1)]   通项an=4^(n-1)+n   a1=2,   a2=6   a3=19   a4=68   a5=261   (3)   ①当n=1时,a1=4^(1-1)+1=4^0+1=1+1=2,成立.   ②假设当n=k时,通项公式成立,即an=4^(n-1)+n   下面证明当n=k+1时,通项公式也成立,即a(n+1)=4^n+(n+1)   a(n+1)=4an-3n+1   =4*[4^(n-1)+n]-3n+1   =4*[4^(n-1)]+4*n-3n+1   =4^n+(n+1)   所以,当n=k+1时,通项公式也成立.   ③综上所述,通项公式an=4^(n-1)+n对任意正整数n都成立.
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