问题标题:
【如果G是S_n的子群,那么如果G是简单群,G属于A_n】
问题描述:
如果G是S_n的子群,那么如果G是简单群,G属于A_n
陈圣宁回答:
结论有问题,S_n的2阶子群(当然是单群)可以不包含在A_n中.
例如n=3时|A_3|=3,没有2阶元,但S_3有3个2阶子群.
如果加上条件|G|>2,那么结论成立.
首先有结论:设K是群,N是K的子群且在K中指数|K:N|=2,则N是K的正规子群.
这是因为由|K:N|=2,对K中任意元素k可以得到:
若k∈N,则kN=N=Nk;而若k∈K-N,则kN=K-N=Nk.
于是kN=Nk对任意k∈K成立,即N在K中正规.
对S_n的任意子群G,设H=G∩A_n.
则H是G的子群,且|G:H|=|G|/|G∩A_n|=|G·A_n|/|A_n|≤|S_n|/|A_n|=2.
若|G:H|=2,则H为G的正规子群.
又|G|>2,故|H|>1,G有非平凡正规子群,不为单群.
因此当G为单群时必有|G:H|=1.
此时G=H=G∩A_n,也即G⊆A_n.
注:证明中用到等式:对一个群的两个子群X,Y,总有|X|/|X∩Y|=|XY|/|Y|.
这里XY不必是子群,只是Y的若干左陪集之并.
证明就是将X∩Y在X中的左陪集与Y在XY中的左陪集建立一一对应,细节略.
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