问题标题：
怎样用闭区间套定理证明有限覆盖定理?数学分析老师说这样证明最好但不知怎么证明
问题描述：
怎样用闭区间套定理证明有限覆盖定理?
数学分析老师说这样证明最好但不知怎么证明
马晋毅回答：
所谓有限覆盖定理,是指：对于有界闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖H中,总能选出有限个开区间来覆盖[a,b].
这一问题可用区间套定理来证明.（区间套定理：若[an,bn]是一个区间套,则在实数系中存在唯一一点C,使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增,{bn}单调递减,都以c为极限.）
证明：用反证法假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].
将[a,b]等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.
再将[a1,b1]等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖.记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.
重复以上步骤并不断进行下去,则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.
但,由区间套定理,存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖,一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0
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