问题标题:
【在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆O的方程;(Ⅱ)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出】
问题描述:
在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.
(Ⅰ)求圆O的方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.
郎显宇回答:
(本小题共13分)
(Ⅰ)设圆O的半径为r,圆心为(0,0),
∵直线x-y-4=0与圆O相切,
∴d=r==2,…(3分)
则圆O的方程为x2+y2=4;…(5分)
(Ⅱ)在圆O上存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,理由为:
法1:∵直线l:y=kx+3与圆O相交于A,B两点,
∴圆心O到直线l的距离d=<r=2,
解得:k>或k<-,…(7分)
假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,…(8分)
则OM与AB互相垂直且平分,…(9分)
∴圆心O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1,…(10分)
即d==1,整理得:k2=8,…(11分)
解得:k=±2,经验证满足条件,…(12分)
则存在点M,使得四边形OAMB为菱形;…(13分)
法2:记OM与AB交于点C(x0,y0),
∵直线l斜率为k,显然k≠0,
∴OM直线方程为y=-x,…(7分)
将直线l与直线OM联立得:
,
解得:,
∴点M坐标为(,),…(9分)
又点M在圆上,将M坐标代入圆方程得:()2+()2=4,
解得:k2=8,…(11分)
解得:k=±2,经验证满足条件,…(12分)
则存在点M,使得四边形OAMB为菱形.…(13分)
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