问题标题:
【在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆O的方程;(Ⅱ)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出】
问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.

(Ⅰ)求圆O的方程;

(Ⅱ)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.

郎显宇回答:
  (本小题共13分)   (Ⅰ)设圆O的半径为r,圆心为(0,0),   ∵直线x-y-4=0与圆O相切,   ∴d=r==2,…(3分)   则圆O的方程为x2+y2=4;…(5分)   (Ⅱ)在圆O上存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,理由为:   法1:∵直线l:y=kx+3与圆O相交于A,B两点,   ∴圆心O到直线l的距离d=<r=2,   解得:k>或k<-,…(7分)   假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,…(8分)   则OM与AB互相垂直且平分,…(9分)   ∴圆心O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1,…(10分)   即d==1,整理得:k2=8,…(11分)   解得:k=±2,经验证满足条件,…(12分)   则存在点M,使得四边形OAMB为菱形;…(13分)   法2:记OM与AB交于点C(x0,y0),   ∵直线l斜率为k,显然k≠0,   ∴OM直线方程为y=-x,…(7分)   将直线l与直线OM联立得:   ,   解得:,   ∴点M坐标为(,),…(9分)   又点M在圆上,将M坐标代入圆方程得:()2+()2=4,   解得:k2=8,…(11分)   解得:k=±2,经验证满足条件,…(12分)   则存在点M,使得四边形OAMB为菱形.…(13分)
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