问题标题:
定义一个无穷数列an:a1=1a2=01a3=010、、、将任一项中的0变成01,1变成0,则得到下一项,记:a1a2=001a2a1=010、、、akak+1表示ak,ak+1中的数字0,1按出现的先后顺序排成一行所得.(1)写a4a5(2)写
问题描述:
定义一个无穷数列an:a1=1a2=01a3=010、、、将任一项中的0变成01,1变成0,则得到下一项,记:a1a2=001a2a1=010、、、akak+1表示ak,ak+1中的数字0,1按出现的先后顺序排成一行所得.
(1)写a4a5
(2)写出ak-1akak+1的关系
(3)记bk分别为ak中0的个数.证明:bn+1-(根号5+1)/2bn是等比数列
题目看不懂、、、第三题写下过程!
杜艳玲回答:
先说一下,题目打错了一点,a1=0
(1)根据题意,就是将an中的0替换为01,1替换为0得到a(n+1),a1=0,a2是将a1中的0替换为01,所以a2=01,a3是将a2中的0替换为01,1替换为0,就是a3=010,所以a4=01001,a5=01001010
(2)根据观察得到,a(k+1)=aka(k-1),(就是将ak,a(k-1)排成一排)
(3)由于a(k+1)=aka(k-1),所以a(k+1)中0的个数=ak中0的个数+a(k-1)中0的个数
即b(k+1)=bk+b(k-1),b1=1,b2=1,
由上式,b(k+1)-(√5+1)/2bk=bk+b(k-1)-(√5+1)/2bk=(1-√5)/2bk+b(k-1)=
(1-√5)/2[bk+2/(1-√5)b(k-1)]=(1-√5)/2[bk-(√5+1)/2b(k-1)]
即[b(k+1)-(√5+1)/2bk]/[bk-(√5+1)/2b(k-1)]=(1-√5)/2
说明bn+1-(根号5+1)/2bn是以(1-√5)/2为公比的等比数列
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