问题标题：
设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应于λ2的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1，α2，α3，α4线性无关．
问题描述：
设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应于λ2的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1，α2，α3，α4线性无关．
孟海斌回答：
证明：由题意，Aα1=λ1α1，Aα2=λ1α2，Aα3=λ2α3，Aα4=λ2α4，
设k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，则
用矩阵A左乘上式两端，得
k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3+k4Aα4=0
∴k1λ1α1+k2λ1α2+k3λ2α3+k4λ4α4=0…（*）
而A（k1α1+k2α2）=λ1（k1α1+k2α2），A（k3α3+k4α4）=λ2（k3α3+k4α4）
即k1α1+k2α2是A相应于λ1的特征向量，k3α3+k4α4是A相应于λ2的特征向量
又不同特征值所对应的特征向量，是线性无关的
因此k1α1+k2α2和k3α3+k4α4是线性无关的
又由（*）得
λ1（k1α1+k2α2）+λ2（k3α3+k4α4）=0
且λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值
∴k1α1+k2α2=0
和k3α3+k4α4=0
而α1，α2为两个线性无关的特征向量，
α3，α4为两个线性无关的特征向量
∴k1=k2=k3=k4=0
∴向量组α1，α2，α3，α4线性无关．
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