问题标题：
【已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．(1)证明a>0；(2)若z=a+2b，求z的取值范围．____】
问题描述：
已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．
(1)证明a>0；(2)若z=a+2b，求z的取值范围．____
李慧芬回答：
【分析】(1)求出f(x)的导函数，因为函数在x=x1和x=x2取得极值得到：x1，x2是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为x<x1函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到a的范围；
(2)由0<x1<1<x2<2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．
求出函数f(x)的导函数f'(x)=ax2-2bx+2-b．
(1)由函数题知：x1，x2是f'(x)=0的两个根，
所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2).
当x<x1时，f(x)为增函数，f'(x)>0，
由x-x1<0，x-x2<0，得a>0．
(2)由题得：0<x1<1<x2<2等价于，即，
化简得．
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所围成的ΔABC的内部，如图所示：
其三个顶点分别为：．
z在这三点的值依次为．
所以z的取值范围为．
【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．
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