问题标题：
【12.将101、104、109、116、125、136、149……,写成一行,求其相邻两数最大公约数的最大值.】
问题描述：
12.将101、104、109、116、125、136、149……,写成一行,求其相邻两数最大公约数的最大值.
赛道建回答：
令A0=100,则An=A0+n^2
An+1=A0+(n+1)^2
设An与An+1的最大公约数为d,
所以d│An+1-An即d│2n+1
又An与An+1异奇偶,
(1)若An为偶数,即n为偶数,令n=2k
所以d=(An,2n+1)=(n^2+100,2n+1)=(4k^2+100,4k+1)
又4k^2+100=k(4k+1)-k+100
所以d=(100-k,4k+1)
因为(4,4k+1)=1
故d=(400-4k,4k+1)=(401,4k+1)
因为401为素数
所以d=401k=100n=200
(2)若An为奇数,即n为奇数,令n=2k-1
所以d=(An,2n+1)=(n^2+100,2n+1)=(4k^2-4k+101,4k-1)
又4k^2-4k+101=k(4k-1)-3k+101
所以d=(101-3k,4k-1)
因为(4,4k-1)=1
故d=(404-12k,4k-1)=(401,4k-1)404-12k=401-3(4k-1)
无解
综上相邻两数最大公约数的最大值为401
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