问题标题:
已知函数,且a<1.(1)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;(2)在(1)的条件下,若m满足f(3m)>f(5-2m),试确定m的取值范围;(3)设函数,k为常数.若关于x的方程g(x)=0在(0,2)上有两个解
问题描述:
已知函数,且a<1.
(1)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(2)在(1)的条件下,若m满足f(3m)>f(5-2m),试确定m的取值范围;
(3)设函数,k为常数.若关于x的方程g(x)=0在(0,2)上有两个解,,求k的取值范围,并比较与4的大小.____
潘玲回答:
【分析】(1)根据函数单调性的定义,首先应在所给区间上任设两个数并规定大小,然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可;
n(2)首先要将抽象不等式结合函数的奇偶性进行转化,然后根据函数的单调性找到自变量之间的不等关系,注意定义域优先原则.
n(3)首先将函数进行化简,或为分段函数,通过研究两段函数的单调性即可获得两根的分布情况,由根的条件以及根的分布即可获得k的取值范围.最后可以通过消参数的办法:通过两个根对应的方程分别将k用两根表示出;或解方程的思想:直接将两根用变量k表出解答问题.
(1)由题得:f(x)=x++a,设1≤x1<x2,
n则
n=(x1-x2),
n∵1≤x1<x2,
n∴x1-x2<0,x1x2>1,
n又a<1,得x1x2-a>0
n∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[1,+∞)上为增函数.
n(2)由(1)得:f(x)在[1,+∞)上为增函数,
n要满足f(5-2m)<f(3m)
n只要1≤5-2m<3m,
n∴m的取值范围为:1<m≤2.
n(3)g(x)=x•f(x)+|x2-1|+(k-a)x-a=x2+kx+|x2-1|
ng(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,不妨设0<x1<x2<2,
,
n所以g(x)在(0,1]是单调函数,
n故g(x)=0在(0,1]上至多一个解,
n若1<x1<x2<2,则x1x2=-<0,
n故不符题意,
n因此0<x1≤1<x2<2.
n由g(x1)=0得k=-,
n所以k≤-1;
n由g(x2)=0得k=,
n所以-<k<-1;
n故当-<k<-1时,方程g(x)=0在(0,2)上有两个解.
n方法一:因为0<x1≤1<x2<2,
n所以k=-,2x22+kx2-1=0
n消去k得2x1x22-x1x2=0
n即,
n因为x2<2,
n所以<4.
n方法二:由g(x1)=0得x1=-
n由2x2+kx-1=0得x=;
n因为x2∈(1,2),所以x2=.
n则=-k+=.
n而y==在上是减函数,
n则<=4.
n因此,<4.
【点评】本题考查的是函数单调性的综合应用问题.在解答的过程当中充分体现了函数的性质、抽象不等式的解答以及函数与方程的思想和问题转化的能力.
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