【如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.第二问要用传统】|小学数学问答-字典翻译问答网

问题标题：

【如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.第二问要用传统】

问题描述：

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(Ⅰ)证明AB⊥A1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

第二问要用传统方法解

不要用空间向量

彭忠利回答：

　　（I）过A1作A1D⊥AB交AB于D,连接CD 　　因AB=AA1,∠BAA1=60° 　　易知⊿ABA1为正三角形　　则AA1=BA1 　　所以A1D为AB边的中线,即D为AB中点（三线合一）　　又CA=CB,表明⊿ACB为等腰三角形　　则CD为AB边上的高,即CD⊥AB（三线合一）　　因AB⊥A1D,且AB⊥CD 　　而A1D交CD于平面A1CD 　　则AB⊥平面A1CD 　　而A1C⊂平面A1CD 　　所以AB⊥A1C 　　（I）连接BC1、CB1交于O,连接A1O 　　过A1作A1H⊥CB1交CB1于H 　　因CA=CB=AB=AA1（即三棱柱所有棱长相等）　　易知四边形BB1C1C为菱形　　则BC1⊥CB1 　　又⊿ABA1为正三角形　　则A1B=AB=A1C1 　　由此知⊿BA1C1为等腰三角形　　易知BC1⊥A1O（三线合一）　　又CB1交A1O于平面A1CB1 　　则BC1⊥平面A1CB1 　　而A1H⊂平面A1CB1 　　则A1H⊥BC1 　　又A1H⊥CB1 　　而BC1交CB1于平面BB1C1C 　　则A1H⊥平面BB1C1C 　　由此表明∠A1CH即为A1C与平面BB1C1C所成角的平面角　　因平面ABC⊥平面AA1B1B 　　且A1D⊥AB 　　且A1D⊂平面AA1B1B 　　且AB为平面ABC与平面AA1B1B的交线　　则A1D⊥平面ABC 　　而CD⊂平面ABC 　　则A1D⊥CD 　　表明⊿A1DC为RT⊿ 　　又易知⊿ABA1、⊿ABC均为边长相等的全等正三角形　　且D为AB的中点　　则A1D=CD 　　表明RT⊿A1DC为等腰直角三角形　　在RT⊿A1DC中,易知A1D=CD=√3 　　则A1C=√6 　　由（I）知AB⊥A1C 　　而A1B1//AB 　　则A1B1⊥A1C 　　表明⊿A1CB1为RT⊿ 　　由勾股定理知CB1=√10 　　又A1H⊥CB1 　　则易知RT⊿A1CB1∽RT⊿A1HB1 　　于是A1H=A1C*A1B1/CB1=2√15/5 　　在RT⊿A1CH中　　由三角函数定义知sin∠A1CH=A1H/A1C=√10/5