数学,其英文是mathematics,这是一个复数名词,“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐,处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位.” 　　自古以来,多数人把数学看成是一种知识体系,是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和,它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯）,又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识.数学既可以来自现实世界的直接抽象,也可以来自人类思维的劳动创造. 　　数学是刻画和探索数（数系）和数（数系）、数（数系）和形（形系）、形（形系）和形（形系）之间内在规律及其应用的一门科学.近代和现代数学,数的概念从整数延伸为实数、复数、变数、变量、函数及其抽象延拓,形成数的理论系统（简称数系）；形的概念从低维几何图形延伸为n（n为自然数及无穷）维空间及其子空间,拓扑空间,度量空间和抽象的流形及其开拓,构成形的理论系统（简称形系）.数学最主要的特点是来源的实践性、结构的抽象性、模型的多样性、推理的精密性、计算的精确性、体系的统一性、和应用的广泛性.它以定义、定理、公式表示抽象概念、规律、和算法,以集合论、公理化系统、和逻辑思维为思想工具.它的基础骨干分支是：算术、代数、三角、几何（平面几何,立体几何,解析几何）；近代、现代骨干分支（变量数学）是：分析（微积分,复分析,实分析,函数论）、高等代数、数论、几何（微分几何）、拓扑、群论、流形、泛函、方程、计算数学、概率统计、模糊数学、运筹学、金融数学、智能数学（数学机械化,计算机数学,数学软件及技术,网络数学,信息数学)及相关抽象数学分支和应用数学分支.它是自然科学的基石,是信息化、数字化的基础,是世界文化和人类文明的重要组成部分.它反映了物质世界的客观规律,蕴涵着丰富的哲理,是人类认识自然、改造自然的有力工具 　　从人类社会的发展史看,人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化.“数学的根源在于普通的常识,最显著的例子是非负整数."欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数,而且直到19世纪中叶,对于数的科学探索还停留在普通的常识,”另一个例子是几何中的相似性,“在个体发展中几何学甚至先于算术”,其“最早的征兆之一是相似性的知识,”相似性知识被发现得如此之早,“就象是大生的.”因此,19世纪以前,人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学,因为那时的数学与现实之间的联系非常密切,随着数学研究的不断深入,从19世纪中叶以后,数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位,这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展,他们认为数学是研究结构的科学,一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上.与这种观点相对应,从古希腊的柏拉图开始,许多人认为数学是研究模式的学问,数学家怀特海（A.N.Whiiehead,186----1947）在《数学与善》中说,“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究,”数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术.”1931年,歌德尔（K,G0de1,1978）不完全性定理的证明,宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾,这样,人们又想到了数学是经验科学的观点,著名数学家冯·诺伊曼就认为,数学兼有演绎科学和经验科学两种特性. 　　对于上述关于数学本质特征的看法,我们应当以历史的眼光来分析,实际上,对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的.由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践,因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的,人们能够很容易地找到数学概念的现实原型,这样,人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入,非欧几何、抽象代数和集合论等的产生,特别是现代数学向抽象、多元、高维发展,人们的注意力集中在这些抽象对象上,数学与现实之间的距离越来越远,而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位,因此,出现了认为数学是人类思维的自由创造物,是研究量的关系的科学,是研究抽象结构的理论,是关于模式的学问,等等观点.这些认识,既反映了人们对数学理解的深化,也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果.正如有人所说的,“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的,前者反映了数学的来源,后者反映了现代数学的水平,现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦.”而关于数学是研究模式的学问的说法,则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释,另外,从思想根源上来看,人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学,是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念,是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现,因此人们认为,发展数学理论的这套方法,即从不证自明的公理出发进行演绎推理,是绝对可靠的,也即如果公理是真的,那么由它演绎出来的结论也一定是真的,通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的. 　　事实上,上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的,并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的.显然,结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌,组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程,而且从总体上来说,数学是一个动态的过程,是一个“思维的实验过程”,是数学真理的抽象概括过程.逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果.在数学研究的过程中,数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示.波利亚（G.Poliva,1888一1985）认为,“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但也是别的什么东西.由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.”弗赖登塔尔说,“数学是一种相当特殊的活动,这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭,记在脑子里的东西.”他认为,数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态,”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说,他们是把数学当成一种工具,他们不能没有数学是因为他们需要应用数学,这就是,对于大众来说,是要通过数学的形式来学习数学的内容,从而学会相应的（应用数学的）活动.这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义.菲茨拜因（EfraimFischbein）说,“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体,这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动,数学是由人类发明的,”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成.库朗和罗宾逊（CouraniRobbins）也说,“数学是人类意志的表达,反映积极的意愿、深思熟虑的推理,以及精美而完善的愿望,它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性.虽然不同的传统可能强调不同的侧面,但只有这些对立势力的相互作用,以及为它们的综合所作的奋斗,才构成数学科学的生命、效用