问题标题:
已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O,左、右焦点分别为、,P为双曲线右支上一点,且,.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)若过且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点,Δ
问题描述:
已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O,左、右焦点分别为、,P为双曲线右支上一点,且,.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)若过且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点,ΔAOB的面积为,求双曲线的方程.____
李润博回答:
【分析】(Ⅰ)设双曲线方程为,,由,∠F1F2P=90°及勾股定理得,由此能求出双曲线的离心率.
(Ⅱ)由,知,双曲线的两渐近线方程为.设l的方程为y=x+c,l与y轴的交点为M(0,c).若l与y=交于点A,l与y=-交于点B,由,得;由,得,再由=,能求出双曲线方程.
(Ⅰ)设双曲线方程为,,
由,∠F1F2P=90°及勾股定理得,
由双曲线定义得.
则.
(Ⅱ)∵,
∴,双曲线的两渐近线方程为.
由题意,设l的方程为y=x+c,l与y轴的交点为M(0,c).
若l与y=交于点A,l与y=-交于点B,
由,得;
由,得,
=
=,
∴c=4,
∴a=2,则,
故双曲线方程为.
【点评】本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,灵活运用双曲线的性质,合理地进行等价转化.
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