问题标题：
【高数,微积分设函数在闭区间[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意满足α+β=1的正数α,β,存在相异两点ξ,η∈(0.1)使αf'(ξ)+βf'(η)=1】
问题描述：
高数,微积分
设函数在闭区间[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意满足α+β=1的正数α,β,存在相异两点ξ,η∈(0.1)使αf'(ξ)+βf'(η)=1
李国巨回答：
在[0,1]上取一点为α,将区间分成[0,α]∪[α,1]
在[0,α]上由拉格朗日中值定理有：f(α)-f(0)=αf'(ξ)其中ξ∈(0,α)
在[α,1]上由拉格朗日中值定理有：f(1)-f(α)=(1-α)f'(η)=βf'(η)其中η∈(α,1)
上两式相加：f(1)-f(0)=αf'(ξ)+βf'(η)
即αf'(ξ)+βf'(η)=1
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