问题标题：
数学4-5数学归纳法求证:7+7^2+7^3+、、、+7^4n能被100整除,其中n∈N求证:7+7^2+7^3+、、、+7^4n能被100整除,其中n∈N用数学归纳法做!~谢谢!
问题描述：
数学4-5数学归纳法求证:7+7^2+7^3+、、、+7^4n能被100整除,其中n∈N
求证:7+7^2+7^3+、、、+7^4n能被100整除,其中n∈N
用数学归纳法做!~谢谢!
潘春光回答：
证明：令f(n)=7+7^2+7^3+、、、+7^4n
1）,n=1时,f(1)=7+7^2+7^3+7^4=2800,能被100整除.
2）,假设当n=k时,f(k)能被100整除,
那么当n=k+1时,
f(k+1)=7+7^2+7^3+、、、+7^4(k+1)
=7+7^2+7^3+、、、+7^4k+7^(4k+1)+7^(4k+2)+7^(4k+3)+7^(4k+4)
=f(k)+7^(4k+1)+7^(4k+2)+7^(4k+3)+7^(4k+4)
=f(k)+7^4k(7+7^2+7^3+7^4)
=f(k)+7^4k*f(1)
f(k)和f(1)都能被100整除,所以f(k)+7^4k*f(1)也能被100整除,即f(k+1)能被100整除
根据1）,2）可以推论n∈N时,f(n)=7+7^2+7^3+、、、+7^4n能被100整除.
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