问题标题:
数学几何证明题,劳烦各位给出证明如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=√ ̄3,PD⊥底面ABCD.(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;(2)若二面角P-BC-D为π/6,求AP与平面PBC所成角的正弦值
问题描述:

数学几何证明题,劳烦各位给出证明

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=√ ̄3,PD⊥底面ABCD.

(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;

(2)若二面角P-BC-D为π/6,求AP与平面PBC所成角的正弦值.

烦劳各位能否用几何方法做出一二问,

陈天崙回答:
  (1)   CD=2,BC=1,BD=根3   CD方=BC方+BD方   BC垂直于BD   又因为PD垂直于底面,所以PD垂直于BC   所以BC垂直于平面PBD   所以平面PBC⊥平面PBD   (2)   BC垂直于平面PBD,所以BC垂直于PB   又因为BC垂直于BD   所以角PBD就是二面角P-BC-D的平面角.即角PBD=30度   PD=1,PB=2   V三棱锥P-BDC=1/3*1/2*1*根3*1=(根3)/6   S三角形PBC=1/2*1*2=1   D到平面PBC的距离=3*(V三棱锥P-BDC)/(S三角形PBC)=(根3)/2   因为AD平行于BC,所以AD平行于平面PBC,所以A点与D点到平面的距离相等.   A到平面PBC的距离为(根3)/2   AP=根2   sin角=垂直距离/斜线距离=(根6)/4   很多同学学了空间向量后就只知道这个方法省事.其实还有很多巧妙的几何方法.   本题为一例.   好好体会一下利用三棱锥的体积求点到面的距离,以及利用距离求角度.
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