问题标题:
【对于函数f(x),若,则称为f(x)的“不动点”;若,则称为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}.(1)设函数f(x)=3x+4求集合A和B;】
问题描述:
对于函数f(x),若,则称为f(x)的“不动点”;若,则称为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}.
(1)设函数f(x)=3x+4求集合A和B;
(2)求证:A⊆B;
(3)设函数(a≠0),且A=∅,求证:B=∅.____
拜朝峰回答:
【分析】(1)函数f(x)=3x+4,要求集合A和B,解出两个方程f(x)=x与f[f(x)]=x的根,此两方程的解集即为集合A和B;
n(2)分A=∅和A≠∅的情况,然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明;
n(3)A=∅,说明f(x)=x无解,由“不动点”和“稳定点”的定义证明f[f(x)]=x无解即可得出B=∅.
(1)令f(x)=3x+4=x,
n解得x=-2,故有A={-2},
n由于f[f(x)]=3(3x+4)+4=9x+16,
n令9x+16=x,得x=-2,故有B={-2};
n(2)若A=∅,则A⊆B显然成立;
n若A≠∅,
n设t∈A,
n则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,
n∴t∈B,故A⊆B.
n(3)若B≠∅.
n则f[f(x)]=x有解,
n即f(x)=x有解,
n这与A=∅矛盾,
n故B=∅.
【点评】本题考查对新概念的理解和运用的能力,同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识,解题过程中体现了分类讨论的数学思想
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