现在根据这两个事实,推导坐标的变换式 　　　设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系,S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动.任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x,y,z,t）、（x',y',z',t'）.两惯性系重合时,分别开始计时若x=0,则x'+vt'=0.这是变换须满足的一个必要条件,故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为x=γ(x'+vt')(1)式中引入了常数γ,命名为洛伦兹因子（由于这个变换是猜测的,显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性）在此猜测上,引入相对性原理,即不同惯性系的物理方程的形式应相同.故上述事件坐标从S系到S'系的变换为x'=γ(x-vt)(2)y与y'、z与z'的变换可以直接得出,即y'=y(3)z'=z(4)把（2）代入（1）,解t'得t'=γt+(1-γ^2)x/γv(5)在上面推导的基础上,引入光速不变原理,以寻求γ的取值设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光,设该光束的波前坐标为（X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T').根据光速不变,有X=cT(6)X’=cT'(7)（1）（2）相乘得xx'=γ^2(xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt')(8)以波前这一事件作为对象,则（8）写成XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT')(9)（6）（7）代入（9）,化简得洛伦兹因子γ=[1-(v/c)^2]^(-1/2)(10)（10）代入（5）,化简得t'=γ(t-vx/c^2)(11)把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起,即S系到S'系的洛伦兹变换x'=γ(x-vt),y'=y,z'=z,t'=γ(t-vx/c^2)(12)根据相对性原理,由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换x=γ(x'+vt'),y=y',z=z',t=γ(t'+vx'/c^2)(13)下面求洛伦兹变换下的速度变换关系考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度.设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j,n,m)和u'(j',n',m')由（12）对t'求导即得S系到S'系的洛伦兹速度变换j'=(j-v)/(1-vj/c^2),n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1],m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1](14)根据相对性原理,由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换j=(j'+v)/(1+vj'/c^2),n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1],m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1](15)洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律,可以得出狭义相对论的所有定量结论.这些结论得到实验验证后,也就说明了狭义相对论的正确性