问题标题:
已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x−y2),f(0)≠0,且存在非零常数c,使f(c)=0.(1)求f(0)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)求证f(x)是周期函数
问题描述:
已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x−y2),f(0)≠0,且存在非零常数c,使f(c)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)求证f(x)是周期函数,并求出f(x)的一个周期.
涂光亚回答:
(1)∵任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x−y2),令x=y=0,∴2f(0)=2f(0)•f(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数、(...
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