问题标题：
已知椭圆曲线C：x²/4+y²/3=1,已知M(1,0)、N(b,0)是x轴上两个定点动直线l:x=a(|a|≤2)与曲线C交于P、Q是否存在常数b,使得点R的轨迹是中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线?若存在,求出b的值.若
问题描述：
已知椭圆曲线C：x²/4+y²/3=1
,已知M(1,0)、N(b,0)是x轴上两个定点动直线l:x=a(|a|≤2)与曲线C交于P、Q
是否存在常数b,使得点R的轨迹是中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线?若存在,求出b的值.若不存在,请说出理由.：
再如何推出b=-1
李永强回答：
不存在.
仍然用拉伸法.若R的轨迹是椭圆,那么将y坐标适当地伸缩,必可使椭圆变成圆.
设P伸缩到P'(2secθ,htgθ),Q伸缩到Q'(-2secθ,-htgθ)
P'M的斜率k1=htgθ/(2secθ-1)=hsinθ/(2-cosθ),
Q'N的斜率k2=-htgθ(2secθ-b)=-hsinθ/(2+bcosθ)
要使k1.k2=-1,必须h²sin²θ≡(2-cosθ)(2+bcosθ),即h²-h²cos²θ=4+2(b-1)cosθ-b²cos²θ.比较系数知b不存在常数解.
黄益民回答：
我是说R的轨迹是双曲线我一直不太明白三角函数怎么出来的
李永强回答：
三角函数是由双曲线的参数方程而来，你还没学到么？那就提前看一看。看不到的话你就现算一下，设双曲线x²/a²-y²/b²=1上的一点的纵坐标y=btgθ,是不是可以得到x=asecθ?使用参数方程的好处是暗含双曲线方程。我前面回答的计算中有个符号错误，应该是k2=-hsinθ/(2-bcosθ),这个错误会影响最终结论。答案应该是存在这样的b，使得R的轨迹为中心在原点的双曲线(就是C)，但绝对不是b=-1。你可以试着证明以下命题：这条双曲线上的四点：P(x1,y1),Q(x1,-y1),R(x2,y2),S(x2,-y2),设直线PR与QS相交于M，直线PS与QR相交于N。如果M是定点，那么N也是定点。（在射影几何中，可以由配极原理简单得到）你的题目中给定了M，对于任意动点P,Q，直线PM与双曲线C必有另一交点R，连结直线RQ，交x轴于N，由上述命题，这个N是定点，不随P，Q而动。选定这个N，那么PM与QN的交点R的轨迹即是双曲线C，符合中心在原点的要求。
黄益民回答：
记着了，明天在学校试着证明若R的轨迹是双曲线，不会是由P'M⊥Q'N时得到。您没看清题目。b如果不为-1，感觉上画出来的双曲线不会以y轴为对称轴
李永强回答：
哦，原来你把题目反过来了。那就直接推算吧。设P(u,v),Q(u,-v),然后计算PM与QN直线交点R(x,y)，解出u=u(x,y)，v=(v(x,y),代入椭圆方程消去u,v得到交点R的轨迹方程，然后观察b的合适取值。
黄益民回答：
没简单点的了啊？
李永强回答：
有哇。稍微简单点的办法是1、通过特殊点先确定只有在b=-1的情况下R的轨迹才可能对称于y轴，避免带着未知元b进行消元运算。原来我们是很武断地说最可能的情况就是b=-1，这当然最省事，但是不严格。严格地确定b=-1的方法附后。2、验证验算的方法还是照上硬算，简化之处在于现在用的是具体值，而不是一个未知元b.不要小看了这点区别，计算量差别很大的。确定b=-1的方法：不难得到2(xu+b)=(x+u)(b+1)如果R的轨迹对称于y轴，当PQ重合于椭圆长轴端点(2,0)时，若R趋于(x,0)，那么当PQ重合于椭圆长轴端点(-2,0)时，R则趋向于(-x,0).所以2(2x+b)=(x+2)(b+1)2(2x+b)=-(x+2)(b+1)上式减去下式得2(x+2)(b+1)=0,得b=-1或者4由b=-1代回验算可知对应的R轨迹是中心在原点的双曲线由b=4代回验算可知对应的R轨迹是原椭圆
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