问题标题：
量子力学中关于矩阵的一个运算U是幺正矩阵,F是厄米矩阵,U=exp(iF).求证：detU=exp(itrF).答好最多追加50分!
问题描述：
量子力学中关于矩阵的一个运算
U是幺正矩阵,F是厄米矩阵,U=exp(iF).求证：detU=exp(itrF).
答好最多追加50分!
谷海红回答：
证明：这需要先说明一个重要定理.
若A和B相似,则detA=detB.trA=trB,所以算符A的的迹及行列式值在任何表象变换中是不变的.
因为det(AB)=detA*detB,tr(AB)=tr(BA),再根据A=U-1BU代入,可证出该定理.其实用不到tr(AB)=tr(BA),可不用证这个.
有了此定理.F表象中以|vi>为基矢.由量子力学表象理论可知,厄米算符在自身表象下呈对角矩阵.
F|vi>=vi|vi>,U|vi>=exp(iF)=exp(ivi)|vi>,将exp(iF)用泰勒展开可得后式.vi是指基矢,ivi指虚数i乘以vi.
由定理可知detU为U在F中表象中的行列式.(detU在任何表象中的行列式值不变）
那么怎么求detU呢,Uij为U矩阵元,Uij==ivj可看出U是对角矩阵.
所以detU为对角元的积,即为exp(iv1)*exp(iv2)*exp(iv3)...
detU=exp[i*(v1+v2+v3+...]
厄米算符在自身表象下呈对角矩阵,所以trF=v1+v2+v3+v4+...
exp(itrF)=exp[i(v1+v2+v3+v4+...)]
从两式可看出.detU=exp(itrF)
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