问题标题：
【已知函数，a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)当a=1，且x≥2时，证明：f(x-1)≤2x-5．____】
问题描述：
已知函数，a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当a=1，且x≥2时，证明：f(x-1)≤2x-5．____
邱文华回答：
【分析】(Ⅰ)导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数．
(Ⅱ)导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间
(Ⅲ)用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式．
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，．
又曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'(1)=a+1=2，
即a=1．
(Ⅱ)由于．
当a≥0时，对于x∈(0，+∞)，有f'(x)>0在定义域上恒成立，
即f(x)在(0，+∞)上是增函数．
当a<0时，由f'(x)=0，得．
当时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当时，f'(x)<0，f(x)单调递减．
(Ⅲ)当a=1时，x∈[2，+∞)．
令．．
当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2，+∞)单调递减．
又g(2)=0，所以g(x)在(2，+∞)恒为负．
所以当x∈[2，+∞)时，g(x)≤0．
即．
故当a=1，且x≥2时，f(x-1)≤2x-5成立．
【点评】本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间；用导数求最值，证明不等式．
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