问题标题：
【求证：只有唯一一个三角形,3边是连续正整数,且有1内角是另一内角的2倍】
问题描述：
求证：只有唯一一个三角形,3边是连续正整数,且有1内角是另一内角的2倍
陆廷荣回答：
设三边分别是n-1、n、n+1
大边对大角,分类讨论：
(1).设最大角是2x,其次角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-2n+1-n^2)/[2(n-1)(n+1)]
=(n^2+2)/(2n^2-2)
cos2x=(n^2+n^2-2n+1-n^2-2n-1)/[2n(n-1)]
=(n-4)/(2n-2)
因为cos2x=2(cosx)^2-1
所以(n-4)/(2n-2)=2[(n^2+2)/(2n^2-2)]^2-1
整理得：2n^4-3n^3-13n^2+3n+2=0
n无正整数解,舍去
(2).设最大角是2x,最小角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-n^2+2n-1)/[2n(n+1)]
=(n+4)/(2n+2)
cos2x=(n^2+n^2-2n+1-n^2-2n-1)/[2n(n-1)]
=(n-4)/(2n-2)
因为cos2x=2(cosx)^2-1
所以(n-4)/(2n-2)=2[(n+4)/(2n+2)]^2-1
整理得：2n^3-7n^2-17n+10=0
解得：n=1/2(舍去),n=-2(舍去),n=5
所以三边是4、5、6时成立
此时最大角是arccos1/8,最小角是arccos3/4
(3).设次最大角是2x,最小角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-n^2+2n-1)/[2n(n+1)]
=(n+4)/(2n+2)
cos2x=(n^2+2n+1+n^2-2n+1-n^2)/[2(n+1)(n-1)]
=(n^2+2)/(2n^2-2)
因为cos2x=2(cosx)^2-1
所以(n^2+2)/(2n^2-2)=2[(n+4)/(2n+2)]^2-1
整理得：n^3-2n^2-4n+8=0
解得：n=-2(舍去),n=2(舍去,此时三边为1、2、3,不能构成△)
综上,边长是4、5、6时,符合要求
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