问题标题:
【已知P为ΔABC内一点,且满足,记ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积依次为,,,则等于A1:2:3B1:4:9C2:3:1D3:1:2】
问题描述:
已知P为ΔABC内一点,且满足,记ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积依次为,,,则等于
A
1:2:3
B
1:4:9
C
2:3:1
D
3:1:2
何亦征回答:
【分析】根据已知的等式变形可得=-6,=-,从而得出P到BC的距离等于A到BC的距离的,P到AC的距离等于B到AC的距离的.从而有S2=S,S3=S,S1=S-S2-S3=S即可解决问题.
如图:设D、E分别为BC、AC的中点,
∵=0,
∴-=-3(+),
∴=-3×2=-6,
同理由(+)=-2(+),即2=-2×,
∴=-.
∴P到BC的距离等于A到BC的距离的,
设ΔABC的面积为S,则S2=S.
P到AC的距离等于B到AC的距离的,
∴S3=S.
∴S1=S-S2-S3=S.
∴S1:S2:S3=S:S=S=3:1:2,
故选D.
【点评】本题考查向量在几何中的应用、共线向量的意义,两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比,体现了数形结合的数学思想.
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