问题标题:
【问一道数学题证明:椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值】
问题描述:
问一道数学题
证明:椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值
方强回答:
证明:
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚
其中心O(0,0)两焦点为F1(﹣c,0)F2(c,0)
其上任一点P(x′,y′)
设P到中心的距离为D
则D²=x′²+y′²
因为P在椭圆上,所以y′²=b²[1-﹙x′²/a²﹚]=b²-﹙b²x′²/a²﹚
所以D²=x′²+b²-﹙b²x′²/a²﹚
由焦半径公式易得
|PF1|=a+ex′
|PF2|=a-ex′
所以|PF1|×|PF2|=a²-e²x′²=a²-﹙c²x′²/a²﹚
因为c²=a²-b²
所以
|PF1|×|PF2|
=a²-﹙a²-b²﹚x′²/a²
=a²-x′²+﹙b²x′²/a²﹚
所以
D²+|PF1|×|PF2|
=x′²+b²-﹙b²x′²/a²﹚+a²-x′²+﹙b²x′²/a²﹚
=a²+b²
原题得证
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