问题标题：
【关于初等变换和矩阵请问如果把一个矩阵化为阶梯型矩阵和最简阶梯型矩阵是不是只能用行变换过程中不能出现列变换阶梯型矩阵又叫行阶梯型矩阵最简阶梯型矩阵又叫行最简矩阵请问】
问题描述：
关于初等变换和矩阵
请问如果把一个矩阵化为阶梯型矩阵和最简阶梯型矩阵是不是只能用行变换过程中不能出现列变换
阶梯型矩阵又叫行阶梯型矩阵最简阶梯型矩阵又叫行最简矩阵请问对么?
什么情况下既可以行变换也可以列变换
沈玉英回答：
你可能还没搞清楚行列变化的原理.
所谓做一次行变换,就是左乘一个可逆阵,所谓列变换,就是右乘一个可逆阵.
举个例子：比如把A的第一行加到第二行,就是A左乘了一个可逆阵
100...0
110...0
001...0
...
000...1
现在来说你的问题：
其实不管是行变换还是列变换,单单从运算上讲,都可以把矩阵化为最简阶梯型,这个很好理解对吧.但是两者在效果上是有区别的.
为了说明问题,我们就假设原矩阵是A,最后的最简阶梯型是单位阵I吧.
如果你是只做行变换得到I,那就相当于A左乘了一系列可逆阵得到I,把那些可逆阵乘在一起记为P,则就是PA＝I.
如果你既做了行变换又做了列变换得到I,那就相当于A既左乘了一系列可逆阵,又右乘了一系列可逆阵后得到I,把左乘的那些可逆阵乘在一起记为P,把右乘的那些可逆阵乘在一起记为Q,则就是PAQ＝I.
下面问题来了,“你做行列变换的目的是什么?”
假设你是为了求A的逆矩阵,那么显然只能用行变换,得到PA=I,那么P就是A的逆矩阵.如果你在此过程中又做行变换又做列变换,就是PAQ=I,这个等式中是找不出A的逆矩阵的.
假设你是为了求A的秩,那么行列变换都能用.因为行列变化都不改换矩阵的秩,虽然也是PAQ=I,但这里的P、Q在求秩的时候对我没用,所以不用管它.
懂我的意思了吗?记住行变换就是左乘,列变换就是右乘.你就知道什么时候既可以行变换也可以列变换了.
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