问题标题：
设P是正整数,是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数
问题描述：
设P是正整数,是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数
金晓怡回答：
默认你知道整数环Z是一个主理想整环,即任意理想均具有的形式.
必要性:我们证明若p不是素数,则
不是极大理想.
由p不是素数,存在整数a≠±1,使得a整除p但p不整除a(只要取a为p的非平凡的约数即可).
由a整除p,
包含于,而p不整除a,故a不在
中,
真包含于.
又a≠±1,≠Z是真包含
的(非平凡)理想,故
不是极大理想.
充分性:即若p是素数,则
是极大理想.
设理想真包含
,有a整除p.
由p是素数,知a=±1,±p.
而若a=±p,易见=
,故a=±1,得=Z.
Z中不存在真包含
的(非平凡)理想,即
为极大理想.
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