郭敦顒回答： 　　ShallowlyexpoundTheReductiontoabsurdity 　　-TheLiveextensiveaxiom 　　GuoDun-Rong 　　(MechanicDepartmentofDalianRailway,Dalian116001,China） 　　AbstractThereductiontoabsurdityisabasicmethodoflogicproof．It′sbasicconceptofthecategoryofathinkingdialecticmathematicsview．Thereductiontoabsurdityhasthefunctionoftheliveextensiveaxiom,connectedtheoriginal(narrowsense)axioms- 　　System,togetherwithconstitutedthegeneralaxioms-system,canbreakthrough 　　TherestrictionoftheG·Kurtincompletetheorems,solongasfindacontradiction,anypropositionallcanbeprove．Itcanplayagoodrole,todevelopmentofthemathematicsandconsolidationofthebasis．Thereductiontoabsurdityandthedirectproofmeth0dscanmutuallybesupplemented,don′tmutuallyexclude．Regarding 　　somepropositions,incannotfindthesituationofthedirectproof,thereductiontoabsurditybecometheonlymethod．SuccessfulprooftotheparalleltheoremsofEuclidgeometry,veritythecorrectnessoftheaboveinference． 　　KeywordsReductiontoabsurdity；Liveextensiveaxiom；Onlymethod；Contradiction；Generalaxiomssystemtheory 　　MR(2000)SubjectClassification00A07,00A30,00A35,03A05,93A05 　　ChineseLibraryClassification　O143 　　浅论反证法——活的泛性公理 　　郭敦荣 　　（大连铁路机务段,116001） 　　摘要反证法是逻辑证明的基本方法．其基本观点属于思辩数学观的范畴．反证法具有活的泛性公理的作用,连同原（狭义）公理系统,构成了广义公理系统,能突破哥德尔不完备性定理的约束,只要找到一个矛盾,任何命题都可被证明．这对数学的发展和基础的巩固,会起到重要作用．反证法与直接证明法可互为补充,并非相互排斥．对于一些命题,在找不到直接证明的情况下,反证法成为唯一的方法．欧氏几何平行线定理的成功证明,证实了上述论断． 　　关键词　反证法；活的泛性公理；唯一方法；矛盾；广义公理系统论 　　MR（2000）主体分类号00A07,00A30,03A05,93A05 　　中图分类号　O143 　　在数学基础和数学证明中,数学家们的意见尚未统一,存在着不同的学派,特别是在19 　　世纪和20世纪前期．这严重制约着数学的发展和对一些重要数学论断是非的判定．为了促进数学的发展,作者（郭敦荣）认为有必要在这方面阐明自己的一些观点．那是属于思辩数学观范畴的．关于思辩数学观作者将在数学基础研究系列（三）《数学观》中论述之．这里,仅就本文论题简述于下． 　　法国数学家让·迪厄多内指出,在数学中,直觉往往能最早发现“一条新定理或一种新 　　方法”,“但光靠直觉不够,你所窥见的证明必须遵守铁面无私的逻辑规则,它们必须主宰证明的各个部分”[1]．数学追求完美,并且要发展,非常需要逻辑证明的支撑．缺乏或削弱了逻辑的数学是残缺的,甚或是不能成立的,更谈不到完美和发展．反证法是逻辑证明中的重要方法．离开反证法的逻辑证明是残缺的．因此,数学若离开反证法,将是残缺的,谈不到完美,也影响着发展．所以,19世纪一些直觉主义者否认排中律,反对反证法的应用是错误的．中国数学家美籍华人菲尔兹奖获得者丘成桐教授近期载文指出“欧几里得证明存在无穷多个素数,开创了反证法的先河”,高度赞扬了其“文采优雅美丽,论断华茂”［2］,丘成桐充分肯定了反证法,这一见地是很正确的． 　　1931年,奥地利数学家哥德尔（后移居美国）证明了两个不完备性定理,李文林教授 　　指出这“揭示了形式主义化方法不可避免的局限性．”［3］美国数学家克莱因认为“在某种程度上,哥德尔不完备性定理是对排中律的否定”,但是他又接着指出“如果存在一个矛盾,任何命题都是可以证明的”［4］,显然,克莱因的后句话更具有特别重要的意义,揭示了哥德尔不完备性定理本身的局限性． 　　哥德尔不完备性定理指出在系统内有不可能被证明的命题存在,而哥德尔不完备性定理 　　的理论基础是形式主义的,因此这一定理有其局限性．我们说反证法具有公理的作用．它是活的（有生命力的,灵活的）泛性公理．这无疑开扩了公理系统的功能,使狭义公理系统内不可证明的命题变得成为可能．从这种意义上讲,反证法在数学命题的证明中占有不可替代的地位,起着非常重要的作用,更具普遍意义．所以,数学要取得长足的发展,离开反证法是不可能的．按此观点,现在我们审视一下关于欧几里得几何平行线问题的一些情况和应有的结论： 　　众所周知,黎曼和罗里切夫斯基等数学家建立了非欧几何,他们证明了“双曲几何的相 　　容性”．于是克莱因指出“双曲几何的相容性也意味着欧氏几何中平行公理是独立于其他公理的．否则,欧氏几何的这一‘定理’（平行定理）将与双曲几何的平行公理矛盾,是不相 　　容的．因此,数年来,由欧氏几何其他公理推导出平行公理的努力,注定是劳而无功．”［5］显然,罗里切夫斯基等人的证明与克莱因的断言都是基于“狭义公理系统论”得出的,其正确性和约束力都有局限性．他们根本没有意识到反证法作为“活的泛性公理”的重要巨大作用,在一些命题的证明中会突破约束得出崭新的结论．作者在论文《欧几里得几何平行线问题解》平行线定理中的证明,就因用了反证法突破了“狭义公理系统论”的约束和限制,使原系统内得不到的证明,现在则得以实现． 　　还需指出的是,在平行线定理的反证法证明中,不仅运用了逻辑