问题标题：
【利用定积分中值定理(a是常数),可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=?】
问题描述：
利用定积分中值定理(a是常数),可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=?
戴晓明回答：
首先重申一下定理吧：
若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使
∫(a→b)ƒ(x)dx=ƒ(ζ)(b-a),ζ∈(a,b)
或∫(a→b)ƒ(x)g(x)dx=ƒ(ζ)∫(a→b)g(x)dx
同样地对于∫(n→n+a)xsin(1/x)dx运用积分中值定理
函数xsin(1/x)在闭区间[n,n+a]上连续可积,则存在一点ζ∈[n,n+a]
使得∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=ζsin(1/ζ)•[(n+a)-n]=aζsin(1/ζ)
于是lim(n→∞)∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=a•lim(n→∞)sin(1/ζ)/(1/ζ)=a•1=a
注意这里的ζ,是n≤ζ≤n+a,当n趋向无穷时,ζ也趋向无穷
所以lim(n→∞)sin(1/ζ)/(1/ζ)=1,相当于重要定理lim(x→0)(sinx)/x=1
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