问题标题:
设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为aη1+bη2..求通解和题目给的A的秩为3有关系吗,具体是什么关系,
问题描述:

设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为aη1+bη2..

求通解和题目给的A的秩为3有关系吗,具体是什么关系,

陈世雄回答:
  因为非齐次线性方程的通解的形式,是与之相应的齐次线性方程的通解,以及该非齐次线性方程的一个特解的组合,如(非齐次线性方程特解+k1*齐次线性方程的解1+k2*齐次线性方程的解2).其中齐次线性方程的解之间线性无关.   而齐次线性方程的线性无关解(也就是基础解系)的个数与A的秩有关,它等于未知数的个数减去A的秩.   也就是说,在题中所给的方程组,其相应的齐次线性方程有4-3=1个基础解系,那么非齐次线性方程的通解形式就是(非齐次线性方程特解+k1*齐次线性方程的解).   因为(η1-η2)是AX=0的齐次线性方程的一个通解(书上有),所以该非齐次线性方程的通解的形式为[η1+k1*(η1-η2)]=aη1+bη2
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