问题标题:
求解lim(x->0)(1+x^2)^(1/1-cosx)极限,RT
问题描述:
求解lim(x->0)(1+x^2)^(1/1-cosx)极限,
RT
师会超回答:
设y=(1+x^2)^[1/(1-cosx)]
lny=ln{(1+x^2)^[1/(1-cosx)]}
=[1/(1-cosx)]*ln(1+x^2)
=ln(1+x^2)/(1-cosx)
lim(x→0)lny=lim(x→0)ln(1+x^2)/(1-cosx)
【注:是0/0型,故运用洛必达法则,即对分子分母求导,】
=lim(x→0)[ln(1+x^2)]'/(1-cosx)'
=lim(x→0)[2x/(1+x^2)]/sinx
={lim(x→0)[2/(1+x^2)]}*{lim(x→0)x/sinx}
=2*{lim(x→0)1/(sinx/x)}
=2/{lim(x→0)sinx/x}
=2/1
=2
lim(x→0)(1+x²)^[1/(1-cosx)]=lim(x→0)y
=lim(x→0)e^(lny)
=e^{lim(x→0)lny}
=e^2
党荣回答:
那能不能直接在指数上运用无穷小替换呢?我换了之后结果似乎是一样的,是不是这种做法不对?
师会超回答:
无穷小只能在作为因子时代入,不然尽管结果是对的,但是原理不对
党荣回答:
问一个很弱智的问题,什么叫因子?
那我可不可以这么理解,对于这个来说,只要真数部分有极限,那么真数就可以用无穷小替换?并且对于加减来说,如果分开之后每一个式子都可以求极限,那么对于每一个式子都可以运用无穷小替换?是这么么?
师会超回答:
意思就是等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能随意单独代换或分别代换),比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的极限不是-n/m时,才可进行等价无穷小代换
等价无穷小是要极限趋于零时
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