问题标题：
用三重积分计算立体Ω的体积,其中Ω是由曲面z=根号(x^2+y^2)与z=1+根号(1-x^2-y^2)所围城的闭区间
问题描述：
用三重积分计算立体Ω的体积
,其中Ω是由曲面z=根号(x^2+y^2)与z=1+根号(1-x^2-y^2)所围城的闭区间
薄华回答：
当被积函数ƒ(x,y,z)=1时三重积分几何意义为立体Ω的体积.
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球面坐标：
所求体积=∫∫∫_ΩdV
=∫(0→2π)dθ∫(0→π/4)sinφdφ∫(0→2cosφ)r²dr
=2π∫(0→π/4)sinφdφ*[r³/3]|(0→2cosφ)
=(2/3)π∫(0→π/4)8cos³φd(-cosφ)
=(-16/3)π*(1/4)[cos⁴φ]|(0→π/4)
=(-4/3)π*(1/4-1)
=π
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柱面坐标：Dz：z²=x²+y²=>Dzの面积=πz²
所求体积=∫∫∫_ΩdV
=∫∫∫_Ω₁dV+∫∫∫_Ω₂dV
=∫(0→1)[∫∫_Dzdxdy]dz+∫∫Dxy[∫(1→1+√(1-x²-y²))dz]dxdy
=∫(0→1)πz²dz+∫(0→2π)dθ∫(0→1)rdr∫(1→1+√(1-r²)dz
=π/3+2π*∫(0→1)r√(1-r²)dr
=π/3+2π*(1/3)
=π
其中:Ω₁是由锥面z=√(x²+y²)和z=1围成
Ω₂是由半球体z=1+√(1-x²-y²)和z=1围成
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