问题标题:
已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3
问题描述:

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3

曹锐回答:
  已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值.   圆的方程x²+y²+x-6y+m=0可化为:(x+1/2)²+(y-3)²=37/4-m   则设圆的圆心为C(-1/2,3),半径r=√(37/4-m)   作线段PQ中点M,连结MC,PC,易知MC⊥PQ   由于PQ所在直线为x+2y-3=0,故设直线MC方程为2x-y+D=0   将点C坐标代入直线MC方程,可得:   2*(-1/2)-3+D=0,解得D=4   所以直线MC方程为2x-y+4=0   联立方程2x-y+4=0,x+2y-3=0求直线PQ与直线MC的交点即PQ中点M   可解得x=-1,y=2   所以中点M坐标为(-1,2)   则|OM|=√5,|CM|=√(1/4+1)=√5/2   因为OP⊥OQ,所以   在Rt△OPQ中,由点M是斜边PQ上的中点可得:   |PQ|=2|OM|=2√5   即|MP|=√5   则在Rt△CMP中,|CM|=√5/2,斜边|CP|=r=√(37/4-m)   由勾股定理|CP|²=|MP|²+|CM|²可得:   37/4-m=5+5/4=25/4   解得m=3
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