问题标题：
【一道关于最优化的数学题LetAbem×nandletBbem×1.AssumethatfunctionE(X)=(|A∙X-B|)^2hasaminimumforX∈Rⁿ；LetYbetheminimum.Showthat(|A∙X-B|)^2-(|A∙Y-B|)^2=(|A∙(X-Y)|)^2】
问题描述：
一道关于最优化的数学题
LetAbem×nandletBbem×1.AssumethatfunctionE(X)=(|A∙X-B|)^2hasaminimumforX∈Rⁿ；
LetYbetheminimum.Showthat(|A∙X-B|)^2-(|A∙Y-B|)^2=(|A∙(X-Y)|)^2
陈天如回答：
若Y是最小点,则有A^TAY=A^TB.(*)于是
|AX-B|^2-|AY-B|^2(用B^T表示B的转置)
=X^TA^TAX-B^TAX-X^TA^TB+B^TB-(Y^TA^TAY-B^TAY-Y^TA^TB+B^TB)
将所有的A^TB用A^TA^代入得
=X^TA^TAX-Y^TA^TAX-X^TA^TAY+Y^TA^TA^
=(|A(X-Y)|)^2.
(*)可以参考最小二乘问题得到证明,也可以利用
|AX-B|^2=X^TA^TAX-B^TAX-X^TA^TB+B^TB对X求导得
2A^TAX-2A^TBX=0,于是驻点（最小点也是驻点）满足
A^TAY=A^TB.
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