问题标题：
【一些数学题较难1、证明：三个连续自然数的平方和不能是某个自然数的平方.2、若在1,2,…,2009的每个数前面任意添上一个正号或负号,则它们的代数和是奇数还是偶数?3、若a1,a2,…,a2009是自然】
问题描述：
一些数学题较难
1、证明：三个连续自然数的平方和不能是某个自然数的平方.
2、若在1,2,…,2009的每个数前面任意添上一个正号或负号,则它们的代数和是奇数还是偶数?
3、若a1,a2,…,a2009是自然数1,2,…,2009的一个全排列,证明：(a1-1)(a2-2)…(a2009-2009)是一个偶数.
4、有n个数x1,x2,…,xn,他们中的每一个数或者是1,或者是-1,如果x1x2+x2x3+…+x(n-1)xn+xnx1=0,求证：n是4的倍数.
5、已知n个整数x1,x2,…,xn的和为0,积为n,求证：n是4的倍数.
6、设a,b是自然数,且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b）,求证4|（a-b）.
7、能肉将1,1,2,2,3,3…,2006,2006这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,两个2006之间夹着2006个数?说明理由.
8、将正方形ABCD分割为n^2个相等的小方格（n是自然数）,把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.
9、少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个证书只能完成求差后再求绝对值,其运算过程是：输入的第一个整数x1,只能显示不运算,接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果求差取绝对值的运算.现小明将1到1991这一千九百九是一个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P,试求出P的最大值,并说明理由.
甘艳珍回答：
1:设三个数分别是a,a+1,a+2.
a^2+(a+1)^2+(a+2)^2
=a^2+a^2+2a+1+a^2+4a+4
=3a^2+6a+5
=3（a^2+2a+1）+2
=3(a+1)^2+2
设a+1)=t
=3*t^2+2
得证
2：偶数.因为任意两个数相加和相减结果奇偶是一样的例如：2+3=5（奇数）2-3=-1（奇数）
所以求1到2009的和即可以
原式=（1+2009）*2009/2
=1500*2009
=2*(750*2009）
=偶数
3：跟第二题一样.
下班了,有时间再答.
我又来了,看来抄袭我答案的人不少啊.
不管你们我继续.
4：很简单
因为1-1=0；
设x1x2=1;x3x4=-1;
所以x1x2+x3x4=0
所以p*（x1x2+x3x4）=0
所以n=4p
5：跟第四题一样.
6：首先观察结果123456789,我们知道这是个奇数,而想使两个数乘积是奇数,那么这两个数必须都是奇数,
(11111+a)、(11111-b)都是奇数-----结论（1）
因此我们还可继续推出a、b都是偶数----结论（2）
我们对等式进行适当的转化,如下：
(11111+a)*(11111-b)=123456789
[(11111+b)+(a-b)]*(11111-b)=123456789
(11111+b)*(11111-b)+(a-b)*(11111-b)=123456789
(a-b)*(11111-b)=2428+b*b
b是偶数,因此b*b就是4的倍数,2428也是4的倍数===>
(2428+b*b)是4的倍数,
又因为(11111-b)是奇数====>（a-b）是4的倍数
7:先看看112233是怎么排列的就能找出规律：
312132
不管数字多大就是这么排列.
8：正方形被n分之后交点个数是n^2个
红点数分别为1234的方块数设为abcd,
所以a+2b+3c+4d+4a+3b+2c+d=n^2
所以基数点的个数必为偶数
9：相邻四位一组可相差为0,比如2-1=1,1-4=3,3-3=0,同样相邻的其它四位也同理,而1990可以被4整除,所以1991的前面1—1990可以计算为0,而0-1991=1991为其最大值
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做完了,呵呵正好下班
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