问题标题：
计算二重积分xysin(x+y)积分区域x=0y=0x+y=π/2
问题描述：
计算二重积分
xysin(x+y)
积分区域x=0y=0x+y=π/2
林丽闽回答：
[-x*cos(x+y)]'=x*sin(x+y)-cos(x+y)
x*sin(x+y)=cos(x+y)-[x*cos(x+y)]'
以上是对x求导的结果.把y暂看作常数.
二重积分,可以先把y看作常数,对x进行积分.然后再对y积分.
∫∫xysin(x+y)dxdy
=∫y[∫xsin(x+y)dx]dy
=∫y{∫cos(x+y)-[x*cos(x+y)]'dx}dy
=∫y[∫cos(x+y)dx]dy-∫y∫[x*cos(x+y)]'dxdy
=∫ysin(x+y)dy-∫xycos(x+y)dy
对于其中第一项,仍然采用分部积分法
∫ysin(x+y)dy
=∫{cos(x+y)-[y*cos(x+y)]'}dy
=sin(x+y)-y*cos(x+y)
对于第二项
∫xycos(x+y)dy
=x∫ycos(x+y)dy
=x∫{[ysin(x+y)]'-sin(x+y)}dy
=xysin(x+y)+xcos(x+y)
因此原二重积分结果为
sin(x+y)-y*cos(x+y)-xysin(x+y)-xcos(x+y)
=(1-xy)sin(x+y)-(x+y)cos(x+y)
（经对x和y求导检验后,上述结果正确）
以下限代入
=(1-0)*sin0-(0+0)cos0
=0
以上限x+y=π/2代入
=1-xy
=1-x(π/2-x)
=1-πx/2+x^2
其中x∈[0,π/2]
上限为x+y=π/2.但x和y本身并非定值.这导致了积分结果依然是一个函数.
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