问题标题:
关于剩余原理的问题一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少?在1000内符合这样条件的数有几个?【解析】题中3、7、8三个数两两互质.则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=
问题描述:
关于剩余原理的问题
一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少?在1000内符合这样条件的数有几个?
【解析】题中3、7、8三个数两两互质.
则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168.
为了使56被3除余1,用56×2=112;
使24被7除余1,用24×5=120;
使21被8除余1,用21×5=105;
然后,112×2+120×4+105×5=1229.
因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数.
再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有5个.
其中56,24,21是如何确定哪个数被3除,哪个数被7除,哪个数被8除?而最后的168为何是乘7?
还有一个问题就是“再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有5个.”这句话中的做法是根据什么原理?
麻烦详细解释下哈,谢谢
丁婷婷回答:
两个数相乘被第三个数除,比如7、8乘为56,就除3;3、7乘为21,就除8等等.为什么乘7,实际上是看余数,要小于除数(168),此题中余数小于168时商正好是7.
这句话的根据就是同余原理,A除以B的余数,与(A+Bn)除以B的余数相同(n为整数),而168是3、7、8的最小公倍数,所以找到了一个满足题目的数字,在其基础上加减168(同时为3者的倍数),被3、7、8除的余数不变.
常鹏回答:
还不是太懂啊,可否再解释解释呢?谢谢
丁婷婷回答:
比如7除以3余4,那7加上3的倍数后除以3,还是余4,这就是同余
常鹏回答:
恩,同余知道的,(1000-53)除以168是否就表示能有多少个168的倍数?还有就是为什么要先减去53再除?还有就是56,24,21三个数如何确定哪个被3除哪个被7除哪个被8除,这个也不太懂,麻烦再讲讲
丁婷婷回答:
因为从0开始第一个符合题意的数是53,然后每加168又是一个符合的数字,直到超出1000为止,所以是1000-53,然后除以168表示53到1000之间可以加几次168,最终的答案因该是6次,你给的解答5次有错,因为可以加5次,再算上53一个,共有6个。78的公约数除以3,37的公约数除以8,38的公约数除以7,每两个公约数除以第三个
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