问题标题：
已知函数，(A>0，ω>0，0)的图象过点(1，2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且f(x)的最大值为2．(1)求φ；(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2010)；(3)若函数g(x)=f(x)-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点，求m的范
问题描述：
已知函数，(A>0，ω>0，0)的图象过点(1，2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且f(x)的最大值为2．
(1)求φ；
(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2010)；
(3)若函数g(x)=f(x)-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点，求m的范围．____
李建勇回答：
【分析】(1)根据函数的周期求出ω的值，根据函数的最大值求出A的值，根据函数过点(1，2)及∅的范围求出∅的值；
n(2)由(1)，知且周期为4，2010=4×502+2，故f(1)+f(2)+…+f(2010)=f(1)+f(2)；
n(3)由在区间[1，4]上恰有一个零点，知函数的图象与直线恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，结合图象可得m的取值范围．
(1)∵，T=4，ω>0，
n∴，
n∴.
n∵f(x)的最大值为2，且A>0，
n∴，即A=2，得，
n又函数f(x)的图象过点(1，2)，则，
n∴sin2φ=1，
n∴.
n∵0<φ<，
n∴．
n(2)由(1)知且周期为4，2010=4×502+2，
n故．
n(3)由在区间[1，4]上恰有一个零点知：
n函数的图象与直线恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如图所示)，
n由图象可知m的取值范围是(0，1]．
【点评】本题考查三角函数的最值，函数的零点，三角函数的周期性和求法，体现了数形结合的数学思想，求出函数f(x)的解析式，是解题的突破口．
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