问题标题：
想证明一个分段函数的连续性,是不是要看他的可导性,如题,该怎么求……谢谢
问题描述：
想证明一个分段函数的连续性,是不是要看他的可导性,如题,该怎么求……谢谢
黄新刚回答：
这题都出过多少次了.详细解答如下：
首先,连续是连续,可导是可导,题目要你先证明连续性你就先证这个,凡事一步一步来不要跳.注意这里只需要证明函数在x=0点连续以及可导,只要证明这一点就够了,其他的点是不是连续,是不是可导我们根本就不关心.利用连续性、导数的定义还有题设条件就完了.
证明函数f(x)在x=0点的连续性只需要证明在x=0处极限值等于函数值.
亦即lim(x趋于0)phi(x)/x=f(0)=1,因为此时x是“趋于”0,不是“等于”0,因此极限符号里面的f(x)的表达式必须套用x不为零那一段的函数值；(phi就是题目里的希腊字母,我的拼写是按照发音拼的,英语里ph发/f/的音,所以念作/fi/).由于：
phi'(0)=lim(x趋于0)[phi(x)-phi(0)]/x（导数定义）
=lim(x趋于0)phi(x)/x（phi(0)=0）
=1(题目给的,phi'(0)=1)
于是,lim(x趋于0)phi(x)/x=1,连续性证毕；
关于在x=0的可导性,还是根据定义,考察如下极限：
f'(0)=lim(x趋于0)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x趋于0)[phi(x)/x-1]/x
注意到,当x趋于0时,分子分母都是趋于0的,因为我们刚才证明过了lim(x趋于0)phi(x)/x=1.（所以我们必须循序渐进地先证明连续性再证明可导性,这里必须利用我们刚证明过的连续性）
由于是0/0不定式,加上phi(x)是二阶连续可导的,所以可以考虑用罗比达法则,
f'(0)=lim(x趋于0)[phi'(x)*x-phi(x)]/x^2(^2为平方,*为乘号)
这同样是一个0/0型,因为题目已知phi(0)=0.于是继续用一次罗比达法则,
f'(0)=lim(x趋于0)[phi''(x)*x+phi'(x)-phi'(x)]/(2x)
=lim(x趋于0)[phi''(x)*x]/(2x)=lim(x趋于0)phi''(x)/2
由于函数phi''(x)在x=0处连续（二阶连续导数）,所以,
f'(0)=lim(x趋于0)phi''(x)/2=phi''(0)/2
现在已经求出了导数,而且phi''(0)是完全有定义的（说phi(x)在x=0有二阶连续导数就等于默认phi''(0)是存在的）,证毕.
如果题目继续告诉你phi''(0)是多少,直接代入就能求f'(0)了.
这题太老了,我读本科的时候对这个题印象非常深刻.考了好几次这个题.
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